積分 on Hifumiのブログ

【積分デイリー】#2 f'(x)/f(x)形の積分法

Sat, 08 Aug 2026 22:14:00 +0900

問題

積分せよ：

$$\int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\,dx$$

関数の微分とそれ自身の比の積分

$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \log \lvert f(x)\rvert + C$$

なので

分子の $\sin x$ を 分母そのものの $\sin x + \cos x$ と 分母の微分の $\cos x - \sin x$で表せるか考えます。

ここで 未定係数法 を使います。

$$\sin x = A(\sin x+\cos x) + B(\cos x-\sin x)$$$$\text{これを解くと}\qquad (A,B) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)$$

i.e. 求める積分は

$$\int \frac{\frac{1}{2}(\sin x+\cos x) - \frac{1}{2}(\cos x-\sin x)}{\sin x+\cos x}\,dx$$$$= \int \left(\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{2}(\sin x+\cos x)'}{\sin x+\cos x}\right)\,dx$$$$= \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\log\lvert\sin x+\cos x\rvert + C$$

【積分デイリー】#1 exp(x)g(x)形の積分法

Sat, 08 Aug 2026 00:14:00 +0900

問題

積分せよ：

$$\int \frac{e^{x}(1+\sin x)}{1+\cos x}\,dx$$

積の微分公式に注目せよ

$$\{f(x)g(x)\}^{\prime} = f^{\prime}(x)g(x) + f(x)g^{\prime}(x)$$

ここで $f(x):=e^x$ とすると

$$\left\{e^x g(x)\right\}^{\prime} = e^x\left\{g(x)+g^{\prime}(x)\right\}$$$$\text{i.e.}\quad \int e^x\left\{g(x)+g^{\prime}(x)\right\}\,dx = e^x g(x)+C \qquad \text{（ただし、$C$ は積分定数）}$$

これをさらに一般化すると

$$\left\{e^{ax}g(x)\right\}^{\prime} = e^{ax}\left\{ag(x)+g^{\prime}(x)\right\}$$$$\text{i.e.}\quad \int e^{ax}\left\{ag(x)+g^{\prime}(x)\right\}\,dx = e^{ax}g(x)+C \qquad \text{（ただし、$C$ は積分定数）}$$

つまり

$\frac{(1+\sin x)}{1+\cos x}$ を $g(x)+g^{\prime}(x)$ の形にできれば、積分できるということ。

Weierstrass 置換

$$\text{Weierstrass置換}\qquad \tan\frac{x}{2}=t \text{ とおくと}$$$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$$$$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$

よって

$$\frac{1+\sin x}{1+\cos x} = \frac{1+\frac{2t}{1+t^2}}{1+\frac{1-t^2}{1+t^2}} = \frac{t^2+2t+1}{2} = \frac{t^2}{2}+t+\frac{1}{2}$$

ここで考えるのは $\tan$ の微分法。

$$(\tan x)^{\prime}=\sec^2 x$$$$\therefore\quad \left(\tan\frac{x}{2}\right)^{\prime} = \frac{1}{2}\sec^2\frac{x}{2}$$$$\sec^2 x-\tan^2 x=1 \quad\text{より}\quad \sec^2 x=1+\tan^2 x$$$$\therefore\quad \frac{1}{2}\sec^2\frac{x}{2} = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\tan^2\frac{x}{2} = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}t^2$$

よって積分は

$$\int e^x \left\{\tan\frac{x}{2}+\left(\tan\frac{x}{2}\right)^{\prime}\right\}\,dx$$

と書き換えられる。

前述の結論を適用すると積分結果は

$$e^x\tan\frac{x}{2}+C \qquad \text{（$C$ は積分定数）}$$

【積分デイリー】#0 有理関数の積分法

Fri, 07 Aug 2026 00:03:00 +0900

問題

積分せよ：

$$\int \frac{x^3}{x+3} \mathrm{d}x$$

有理関数の微分法のココロ：部分分数に直してから積分する

組立除法を使います。

$$\begin{array}{c|cccc} -3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ & & -3 & 9 & -27 \\\\ \hline & 1 & -3 & 9 & -27 \end{array}$$

となり、結果は $x^2-3x+9$ あまり $-27$。

あまり27というのは何かを意味すると、$-\frac{27}{x+3}$　の項は割り切れずに残っているということ。

つまり被積分関数は、部分分数に直して

$$x^2-3x+9-\frac{27}{x+3}$$

とかけます。

これを項ごとに積分すればいい。

解答

$$\int \frac{x^3}{x+3} \mathrm{d}x = \frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+9x-27\log |x+3|+C$$