【積分デイリー】#0 有理関数の積分法

Fri, 07 Aug 2026 00:03:00 +0900

積分せよ：

$$\int \frac{x^3}{x+3} \mathrm{d}x$$

組立除法を使います。

$$\begin{array}{c|cccc} -3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ & & -3 & 9 & -27 \\\\ \hline & 1 & -3 & 9 & -27 \end{array}$$

となり、結果は $x^2-3x+9$ あまり $-27$。

あまり27というのは何かを意味すると、$-\frac{27}{x+3}$　の項は割り切れずに残っているということ。

つまり被積分関数は、部分分数に直して

$$x^2-3x+9-\frac{27}{x+3}$$

とかけます。

これを項ごとに積分すればいい。

$$\int \frac{x^3}{x+3} \mathrm{d}x = \frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+9x-27\log |x+3|+C$$

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