問題
積分せよ：
$$\int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\,dx$$関数の微分とそれ自身の比の積分
$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \log \lvert f(x)\rvert + C$$なので
分子の $\sin x$ を 分母そのものの $\sin x + \cos x$ と 分母の微分の $\cos x - \sin x$で表せるか考えます。
ここで 未定係数法 を使います。
$$\sin x = A(\sin x+\cos x) + B(\cos x-\sin x)$$$$\text{これを解くと}\qquad (A,B) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)$$i.e. 求める積分は
$$\int \frac{\frac{1}{2}(\sin x+\cos x) - \frac{1}{2}(\cos x-\sin x)}{\sin x+\cos x}\,dx$$$$= \int \left(\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{2}(\sin x+\cos x)'}{\sin x+\cos x}\right)\,dx$$$$= \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\log\lvert\sin x+\cos x\rvert + C$$