問題
積分せよ：
$$\int \frac{e^{x}(1+\sin x)}{1+\cos x}\,dx$$積の微分公式に注目せよ
$$\{f(x)g(x)\}^{\prime} = f^{\prime}(x)g(x) + f(x)g^{\prime}(x)$$ここで $f(x):=e^x$ とすると
$$\left\{e^x g(x)\right\}^{\prime} = e^x\left\{g(x)+g^{\prime}(x)\right\}$$$$\text{i.e.}\quad \int e^x\left\{g(x)+g^{\prime}(x)\right\}\,dx = e^x g(x)+C \qquad \text{（ただし、\(C\) は積分定数）}$$これをさらに一般化すると
$$\left\{e^{ax}g(x)\right\}^{\prime} = e^{ax}\left\{ag(x)+g^{\prime}(x)\right\}$$$$\text{i.e.}\quad \int e^{ax}\left\{ag(x)+g^{\prime}(x)\right\}\,dx = e^{ax}g(x)+C \qquad \text{（ただし、\(C\) は積分定数）}$$つまり
$\frac{(1+\sin x)}{1+\cos x}$ を $g(x)+g^{\prime}(x)$ の形にできれば、積分できるということ。
Weierstrass 置換
$$\text{Weierstrass置換}\qquad \tan\frac{x}{2}=t \text{ とおくと}$$$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$$$$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$よって
$$\frac{1+\sin x}{1+\cos x} = \frac{1+\frac{2t}{1+t^2}}{1+\frac{1-t^2}{1+t^2}} = \frac{t^2+2t+1}{2} = \frac{t^2}{2}+t+\frac{1}{2}$$ここで考えるのは $\tan$ の微分法。
$$(\tan x)^{\prime}=\sec^2 x$$$$\therefore\quad \left(\tan\frac{x}{2}\right)^{\prime} = \frac{1}{2}\sec^2\frac{x}{2}$$$$\sec^2 x-\tan^2 x=1 \quad\text{より}\quad \sec^2 x=1+\tan^2 x$$$$\therefore\quad \frac{1}{2}\sec^2\frac{x}{2} = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\tan^2\frac{x}{2} = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}t^2$$よって積分は
$$\int e^x \left\{\tan\frac{x}{2}+\left(\tan\frac{x}{2}\right)^{\prime}\right\}\,dx$$と書き換えられる。
前述の結論を適用すると積分結果は
$$e^x\tan\frac{x}{2}+C \qquad \text{（\(C\) は積分定数）}$$